CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG

vtczone.vn giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

Nội dung bài viết Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông:A CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1.

Bạn đang xem: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng Phương pháp giải: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu: Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia (trường hợp cạnh – góc – cạnh). Một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia (trường hợp góc – góc). Cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyện và cạnh góc vuông của tam giác kia (trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông). VÍ DỤ 1. Tính chu vi của tam giác ABC vuông tại A, biết rằng đường cao AH chia tam giác đó thành hai tam giác AHB và AHC có chu vi theo thứ tự bằng 18 cm và 24 cm. LỜI GIẢI. Xét 4AHB và 4CHA, ta có AHB = CAB = 90◦, ABH = CAH (cùng phụ với góc HAB).Do đó 4AHB và 4CHA đồng dạng (g.g), suy ra AH CH = AB CA = HB HA = AH + AB + HB CH + CA + HA = 18 24 = 3 4 (1) A C B H Xét 4AHB và 4CAB, có: AHB = CAB = 90◦, B là góc chung. Do đó 4AHB và 4CAB đồng dạng (g.g), suy ra AH CA = AB CB = HB AB = AH + AB + HB CH + CB + AB = 18 CH + CB + AB (2) Từ (1), ta đặt AB = 3k, CA = 4k. Xét 4ABC vuông tại A: CB2 = AB2 + CA2 = (3k) 2 + (4k) 2 = (5k) 2 nên CB = 5k. Do đó AB CB = 3 5. Từ (2) suy ra 3 5 = 18 chu vi 4ABC. Vậy chu vi 4ABC bằng 18 · 5 3 = 30 (cm). VÍ DỤ 2. Tam giác ABH vuông tại H có AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho AC = 5 3 AH. 1 Chứng minh rằng các tam giác ABH và CAH đồng dạng. 2 Tính BAC. LỜI GIẢI. 1 Ta có AB BH = 20 12 = 5 3 = AC AH.Xét 4ABH và 4CAH, ta có: AHB = CHA = 90◦, AB AC = BH AH (chứng minh trên). B H C A 20 12 Do đó 4ABH và 4CAH đồng dạng (cạnh huyền – cạnh góc vuông). 2 Từ câu a) suy ra CAH = ABH. Ta lại có BAH + ABH = 90◦ nên BAH + ABH = 90◦. Do đó BAC = 90◦. 1. Bài tập tự luyện BÀI 257. Cho tam giác ABC vuông tại A, hình vuông EF GH nội tiếp tam giác sao cho E thuộc AB, F thuộc AC, H và G thuộc BC. Tính độ dài của cạnh hình vuông biết rằng BH = 2 cm, GC = 8 cm. LỜI GIẢI. B A F C G H E 4EHB và 4CGF đồng dạng (g.g). Suy ra EH CG = BH F G ⇒ EH2 = BH · CG = 16 ⇒ EH = 4 (cm). Vậy cạnh của hình vuông EF GH bằng 4 cm. BÀI 258. Cho hình bình hành ABCD, các đường cao CE, CF. Kẻ DH, BK vuông góc với AC.Chứng minh rằng AC2 = AD · DF + AB · AE. LỜI GIẢI. Từ 4ADH và 4ACF đồng dạng (g.g) suy ra được AD · AF = AC · AH (1) Từ 4ACE và 4ABK đồng dạng (g.g) suy ra được AB · AE = AC · AK (2) Từ (1) và (2) suy ra: AD · AF + AB · AE = AC · (AH + AK) = AC2. A E B K D C H F BÀI 259. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BC2 = BH · BD + CH · CE. LỜI GIẢI. Kẻ HK⊥BC. Từ các tam giác đồng dạng, ta chứng minh được BH · BD = BK · BC (1) CH · CE = CK · CB (2) Cộng (1) và (2) ta được đẳng thức cần phải chứng minh.

Xem thêm: Những Phim Hoạt Hình Đáng Xem Nhất Thế Giới Mà Người Lớn Cũng Thích Mê

A H B K C D E BÀI 260. Cho tam giác ABC (AB 6= AC). Gọi E và F theo thứ tự là các hình chiếu của B và C trên tia phân giác của góc A. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng F B và CE.Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC. LỜI GIẢI. 4ABE và 4ACF đồng dạng, 4KBE và 4KF C đồng dạng, ta có: KB KF = BE CF = AE AF ⇒ AK k BE ⇒ AK⊥AE. Vậy AK là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của 4ABC. A E B F C K BÀI 261. Tính tỉ số hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết rằng đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tỉ lệ 12 : 13. LỜI GIẢI. Đặt AH = 12k, AM = 13k thì HM = 5k, CH = 18k (giả sử AB AC). Ta có 4AHB và 4CHA đồng dạng nên AB CA = HA HC = 12k 18k = 2 3. A C B H M BÀI 262. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 3AB. Lấy các điểm D, E thuộc AC sao cho AD = DE = EC. Chứng minh rằng AEB + ACB = 45◦. LỜI GIẢI. M C E B A D a 1 1 2 Cách 1.Vẽ M đối xứng với B qua D, 4EAB và 4BMC đồng dạng (c.g.c) ⇒ Ec1 = MBC. Do đó Ec1 + Cb = MBC + Cb = Dc1 = 45◦. Cách 2. Đặt AB = AD = DE = EC = a thì BD2 = a 2 + a 2 = 2a 2 = 2a · a = CD · ED ⇒ CD BD = BD ED. 4CDB và 4BDE đồng dạng (c.g.c) Cb = DBE. Do đó Ec1 + Cb = Ec1 + DBE = Dc1 = 45◦. BÀI 263. Hình thang vuông ABCD có Ab = D = 90◦, AB = 4 cm, DC = 9 cm, BC = 13 cm. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AD đến BC. LỜI GIẢI. Vẽ BH⊥CD, MK⊥BC. 4MKN và 4BHC đồng dạng (g.g) MK BH = MN BC ⇒ MK = MN · BH BC Ta có MN = DH + HC 2 = AB + HC 2 = 4 + 2, 5 = 6, 5 (cm); BH = √ BC2 − HC2 = √ 132 − 5 2 = 12 (cm); Vậy MK = 6, 5 · 12 13 = 6 (cm). A B D H C N K M BÀI 264. Hình thang vuông ABCD có Ab = D = 90◦, AB = 7 cm, DC = 13 cm, BC = 10 cm.Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AD ở N. Tính độ dài MN (M là trung điểm BC). LỜI GIẢI. A B H C N M K D Vẽ BH⊥CD, MK⊥AD, 4MKN và 4BHC đồng dạng (g.g) nên tính được MN = BC · MK BH = 10 · 10 8 = 12, 5 (cm). BÀI 265. Cho hình bình hành ABCD. Hai đường thẳng đi qua tâm của hình bình hành chia nó ra bốn tứ giác có diện tích bằng nhau. Đường thẳng thứ nhất cắt BC ở E, đường thẳng thứ hai cắt CD ở F. Chứng minh rằng điểm E chia cạnh BC và điểm F chia cạnh CD theo cùng một tỉ số. LỜI GIẢI. A M B D F O C E K I Gọi M là giao điểm của F O và AB (O là tâm của hình bình hành). Ta có SOMBE = SOF CE mà SMOE = SF OE nên SMBE = SF CE. Do đó EB · MI = EC · FK (MI, FK⊥BC). Vậy EB EC = FK MI = F C MB = F C F D.